《射雕英雄傳》第29章“黑沼隱女”，描寫(xiě)了一位原為大理國(guó)皇妃、后隱居黑沼的女子——瑛姑（劉瑛）。瑛姑綽號(hào)“神算子”，多年來(lái)獨(dú)自隱居茅舍，潛心鉆研各種算題。瑛姑的故事雖然出自小說(shuō)家的向壁虛構(gòu)，卻從一個(gè)側(cè)面巧妙地反映了中國(guó)古代算學(xué)的成就。書(shū)中的這一段描寫(xiě)，不失為了解中國(guó)古代算學(xué)成就的一個(gè)入口。

據(jù)《射雕英雄傳》描寫(xiě)，郭靖和黃蓉兩人走進(jìn)堂中，“只見(jiàn)當(dāng)前一張長(zhǎng)桌，上面放著七盞油燈，排成天罡北斗之形。地下蹲著一個(gè)頭發(fā)花白的女子，身披麻衫，凝目瞧著地下一根根的無(wú)數(shù)竹片”。這些竹片“長(zhǎng)約四寸，闊約二分，知是計(jì)數(shù)用的算子”。這里的“算子”，即是中國(guó)古代的記數(shù)工具——算籌。

“算”，在中國(guó)古代有三種寫(xiě)法：筭、算、祘。筭，《說(shuō)文解字》解釋為“長(zhǎng)六寸，計(jì)歷數(shù)者。言常弄乃不誤也”。筭是一個(gè)會(huì)意字，由“竹”和“弄”兩部分組成，指的是一種六寸長(zhǎng)的竹制計(jì)算工具。算，《說(shuō)文解字》解釋為“數(shù)（shù）也。從竹從具，讀若筭”。算也是一個(gè)會(huì)意字，由“竹”和“具”兩部分組成。段玉裁注解說(shuō)：“從竹者，謂必用筭以計(jì)也；從具者，具數(shù)也。”也就是從計(jì)算工具演變?yōu)閼?yīng)用的過(guò)程。祘字較為晚出，由兩個(gè)“示”字合并而成。《說(shuō)文解字》解釋說(shuō)：“明視以筭之。”關(guān)于“示”，許慎又解釋說(shuō)：“垂象，見(jiàn)吉兇，所以示人也。從二。三垂，日月星也。觀乎天文，以察時(shí)變。示，神事也。”也就是把上天的某種征象顯示出來(lái)的意思。

“算”字的三種寫(xiě)法，是我們理解中國(guó)古代算學(xué)成就的一把鑰匙。其一，它表明竹制的算籌是中國(guó)古代的記數(shù)工具。這與古希臘的做法截然不同。古希臘使用小石子記數(shù)，古希臘語(yǔ)的“碎石”后來(lái)演變?yōu)槔≌Z(yǔ)中的Calculus，也就是今日英文Calculation一詞的詞源。其二，“算”同“祘”，后者從示，有著象神的含義，表明計(jì)算一事可由神明來(lái)驗(yàn)證。在某種意義上，中國(guó)古代的算學(xué)也是一種“通天”之學(xué)，但與古希臘畢達(dá)哥拉斯所說(shuō)的“萬(wàn)物皆數(shù)”又有所區(qū)別。其三，算籌記數(shù)，使用十進(jìn)位值制，便于計(jì)算。五以下的數(shù)目，直接用幾根籌表示；五以上的數(shù)目，則用一根籌放在上面，余下的每一根籌表示一。表示數(shù)目，又有縱式和橫式兩種形式。表示多位數(shù)時(shí)，則要使各位數(shù)目的籌式縱橫相間。數(shù)字有空位時(shí)，則不放算籌（中國(guó)古代沒(méi)有表示數(shù)字0的符號(hào)）。這種同一數(shù)碼在不同位置（數(shù)位）產(chǎn)生不同位置值（也叫權(quán)）的制度，被稱作“位值制”。算籌記數(shù)采用十進(jìn)位值制，既較古巴比倫人的六十進(jìn)制為優(yōu)，又較古印度人的十進(jìn)位值制要早（遲至6世紀(jì)末），可以說(shuō)是中國(guó)古代算學(xué)取得輝煌成就的重要基礎(chǔ)之一。

宋朝以前，中國(guó)長(zhǎng)期使用算籌計(jì)算，稱為“籌算”。宋朝以后，算盤(pán)計(jì)算逐漸得到推廣和運(yùn)用，稱為“珠算”。明朝以后，籌算才被珠算所替代。如今中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)常用的筆算，實(shí)際上是來(lái)自西方系統(tǒng)的舶來(lái)品，遲至1910年代才逐漸得到廣泛的應(yīng)用。籌算長(zhǎng)期在計(jì)算中占據(jù)主要地位，應(yīng)與古人的生活習(xí)慣有關(guān)。古人席地而坐，就地布?xì)郑褂盟慊I十分方便。宋朝以后，垂足坐的起居方式逐步推廣，這時(shí)籌算就顯得不夠方便了，與桌案相適應(yīng)的珠算自然應(yīng)運(yùn)而生。

關(guān)于算籌的形制大小，《射雕英雄傳》說(shuō)“長(zhǎng)約四寸，闊約二分”，實(shí)際上這是被改進(jìn)后的樣子。《漢書(shū)·律歷志》：“算法用竹，徑一分，長(zhǎng)六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。”這里的“一分”應(yīng)為“三分”之誤。可見(jiàn)漢代以“長(zhǎng)六寸、闊三分”為算籌的標(biāo)準(zhǔn)形制。漢代一尺約為23.1厘米，六寸為13.86厘米，三分為0.693厘米。北周甄鸞《數(shù)術(shù)記遺》：“積算，今之常算是也。以竹為之。長(zhǎng)四寸以效四時(shí)，方三分以象三才。”其后《隋書(shū)·律歷志》也說(shuō)：“其算用竹，廣二分，長(zhǎng)三寸。”隋代一尺約為29.5厘米，四寸為11.8厘米，三寸為8.85厘米，三分為0.885厘米。算籌的長(zhǎng)度逐漸改得短小，自然更便利于運(yùn)用與攜帶。至于“四時(shí)”與“三才”之說(shuō)，則是天人交感觀念在算數(shù)之學(xué)中又一反映。

《射雕英雄傳》中還涉及九宮圖（幻方）問(wèn)題。最先出現(xiàn)的是“三階幻方”——九宮圖，即將1至9這9個(gè)數(shù)字排成3列，每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)字之和都等于15。黃蓉給出的答案是：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”實(shí)際上，這一解答淵源有自，并非出自黃蓉的原創(chuàng)。

中國(guó)最早的“幻方”，被稱作“洛書(shū)”，與“河圖”并稱。相傳洛河中浮出神龜，背馱“洛書(shū)”，獻(xiàn)給大禹。大禹依此治水成功，劃分天下為九州。又依此定九章大法，治理社會(huì)，此即《尚書(shū)·洪范》之原本。《易·系辭上》：“河出圖，洛出書(shū)，圣人則之。”由此河圖洛書(shū)成為中華文化之源，亦成為治理天下的基本依據(jù)。這是中國(guó)古代算學(xué)與神明之事相關(guān)聯(lián)的又一例證。漢代把洛書(shū)的圖形數(shù)字稱為“九宮算”，又稱為“縱橫圖”。北周甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》中對(duì)“九宮算”的圖形數(shù)字做過(guò)總結(jié)，形成了黃蓉所說(shuō)的四字歌訣。這個(gè)歌訣，實(shí)際上反映了三階幻方的基本形式。

在《續(xù)古摘奇算法》一書(shū)中，楊輝最早對(duì)縱橫圖及其構(gòu)成規(guī)律做出了探討。該書(shū)分為上下兩卷，下卷摘引各類算書(shū)中的“奇題”進(jìn)行研究（故名之），上卷則專門(mén)討論20個(gè)縱橫圖。第一為河圖，第二為洛書(shū)，接著是四四、五五、六六、衍數(shù)、易數(shù)圖各2個(gè)，九九、百子圖各1個(gè)，最后有“攢九”幻圓和“聚五”“聚六”“聚八”“八陣”“連環(huán)”異形幻圓。

關(guān)于三階幻方生成方法與布局的口訣，楊輝的說(shuō)法更勝一籌：“九子斜排，上下對(duì)易。左右相更，四維挺出。戴九履一，左三右七。二四為肩，六八為足。”后四句指的就是“洛書(shū)”。把1到9這9個(gè)數(shù)按順序斜排，然后“上下對(duì)易”，將1和9對(duì)調(diào)，接著“左右相更”，將7和3互換，最后“四維挺出”，將四面中間的數(shù)2，4，6，8向外挺出。前四句則道出了三階乃至任何奇階幻方的構(gòu)造程序。“洛書(shū)”的圖案不過(guò)是三階幻方最為常見(jiàn)的一種形式。實(shí)際上，要使縱、橫、斜三線上的三個(gè)數(shù)相加為15，只能推算出8種可能。要使三階幻方成立，就只能把5放在中間的方格，將1、3、7、9放在靠邊的四個(gè)方格，將2、4、6、8放在四角的方格。這就是三階幻方的基本形式，只有1種。通過(guò)方陣的旋轉(zhuǎn)與映射，可以得到8種變幻，但它們都是同構(gòu)的。

時(shí)至今日，幻方可以推廣到廣義幻方、幻體、雙隨機(jī)矩陣等方面，在生產(chǎn)生活中得到了廣泛應(yīng)用，不僅運(yùn)用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計(jì)、航運(yùn)、建筑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，而且還與目前大熱的人工智能深度結(jié)合。此外，幻方橫、豎、縱都分布平衡的特性，對(duì)保持社會(huì)乃至生態(tài)的平衡不無(wú)啟示意義。由此看來(lái)，古人認(rèn)為河圖洛書(shū)包含了治國(guó)理政的基本原理，并非無(wú)稽之談，而是蘊(yùn)含著中華民族對(duì)數(shù)理與時(shí)空觀念的深刻思考。縱橫圖對(duì)實(shí)際的生活應(yīng)用問(wèn)題沒(méi)有幫助，楊輝專門(mén)列出一卷討論縱橫圖的做法雖然有些獨(dú)特，但仔細(xì)想來(lái)，它又是對(duì)宏觀層面的天人關(guān)系與治國(guó)綱領(lǐng)的一種反映，并非純粹邏輯推理與演繹的結(jié)果。

（作者：鄭豪，系清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系助理研究員）